PERBEDAAN METODA NUMERIK dan ANALITIK

1.      SOLUSI DENGAN :

·         METODA NUMERIK SELALU BERBENTUK ANGKA.

·         METODA ANALITIK

BIASANYA MENGHASILKAN  SOLUSI DALAM BENTUK  FUNGSI MATEMATIK DAN DAPAT DIEVALUASI UNTUK MENGHASILKAN NILAI DALAM BENTUK ANGKA.

2.      DENGAN METODA NUMERIK

     

·         SOLUSI YANG DIPEROLEH SELALU MENDEKATI  SOLUSI SESUNGGUHNYA.

SEHINGGA DINAMAKAN DENGAN SOLUSI PENDEKATAN

     

·         NAMUN SOLUSI INI DAPAT DIBUAT SETELITI YANG DIHARAPKAN.

·         SOLUSI PENDEKATAN TIDAK TEPAT SAMA DENGAN SOLUSI SESUNGGUHNYA, SEHINGGA ADASELISIH  --- DISEBUT GALAT ( ERROR )

TAHAPAN PEMECAHAN MASALAH SECARA NUMERIK

1. PEMODELAN

Masalah dimodelkan dalam persamaan matematika

2. PENYEDERHANAAN MODEL

Model rumit di buat sederhana

3. FORMULASI NUMERIK

Setelah model matematik sederhana diperoleh selanjutnya memformulasi secara numerik

4. PEMROGRAMAN

Menerjemahkan algoritma ke program komputer

5. OPERASIONAL

Program computer di jalankan dengan data uji coba

6. EVALUASI

Analisis hasil run dibandingkan dengan prinsip dasar dan hasil empiris

                       

Nilai Signifikan

Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai  batas nilai tersebut diterima atau tidak. Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris :

Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan karena selisih 1 strip, dalam  kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60.

Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh  jarum :

Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10-1 (0,1) maka diperoleh nilainya 59 atau 59,5.

Angka Signifikan (AS)

•       Komputasi thd suatu bilangan à Bilangan hrs meyakinkan ?

•       Konsep angka signifikan à keandalan sebuah nilai numerik

•       Banyak angka  signifikan à banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan

•       Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran

•       Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why?

•       Ketidakpastianà kepastian, jk pakai notasi ilmiah

            Bagaimana?

            0,000123                     à mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)

            0,00123                                   à mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)

            12.300                         à Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu

                                                     berarti atau tidak…!

            1,23 x 10⁴                    à mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah)

            1,230 x 10⁴                  à mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)

            1,2300 x 10⁴                à mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

                       

Dua arti penting angka signifikan

·         “AS akan memberikan  kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik”

·         “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas” à (kesalahan pembulatan/round-off-error

Akurasi dan Presisi

Presisi

•       Jumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaran

•       Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alat yg mengukur suatu perilaku fisik tertentu

Akurasi

•       Dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap  harga sebenarnya yang hendak dinyatakan Inakurasi (Tdk akurat)

•       Simpangan sistematis dari kebenaran

Kesalahan à “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari ramalan yang dilakukan

•       Kesalahan Numerik à Adanya aproksimasi

Meliputi:

•       Kesalahan pemotongan (truncation error) à saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.

•       Kesalahan pembulatan (round-off error) à ketika angka² aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

•        

Sehingga, bisa dihubungkan:

            Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan

•       Bisa dikatakan: “Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi”

            Et = Harga sebenarnya – aproksimasi;

Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan “sebenarnya” à Tapi, Definisi yang lemah..!Why..???

Kelemahan definisi?

•       Tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, mis: kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang paku dari pada pengukuran panjang jembatan

•        

Menutupi kelemahan di atas, How??

•       Menormalisasi kesalahan itu thd harga sebenarnya à Kesalahan Relatif Fraksional(KRF)

•       KRF = Kesalahan / Harga sebenarnya

•       KRF dapat pula dikalikan dengan 100% didefinisikan sebagai εt, sbb:

                         εt = (Kesalahan /Harga Sebenarnya) x 100% ;

                           Dimana: εt = kesalahan relatif  sebenarnya. (persen )

•       Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:

εa = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%

Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan

                                      thd sebuah harga aproksimasi.

Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num à

“menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya”

•       Metode numerik tertentu memakai pendekatan interasi  utk menghitung jawaban.

•       Dlm hal ini, suatu aproksimasi skrg dibuat berdsrkan suatu aproksimasi sblmnya à dilakukan berulang kali atau scr interasi spy dapat menghitung aprosimasi yg lbh baik & semakin baik.

•       Dgn demikian, kesalahan sering ditaksir sbg pbedaan antara aproksimasi sblmnya dgn aproksimasi sekarang, Sehingga kesalahan relatif persen ditentukan:

εa = (aprok. skrg – aprok. sblmnya)/(pendekatan skrg) x 100%

εa bisa sj positif atau jg negatif, namun seringkali hanya digunakan harga absolutnya dimana apakah lebih kecil dari suatu toleransi praspesifikasinya (εs)

           

                                                │εa│ < εs

•       Kalau hubungan (│εa│ < εs ) dipegang, hasil kita anggap berada dlm tingkat praspesifikasi yang dapat diterima εs

•       (Scarborough, 1966)à Jk kriteria di atas bs diterima, maka dapat menjamin bhw hasilnya adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.

•       εs = ( 0,5 x 10^2-n ) % à Buku Chapra,hal 79-81

Kesalahan Pembulatan

•       Berasal dari kenyataan bhw komputer hy menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkulasi

Misalnya:

•       Bila ia menyimpan 7 angka signifikan maka ¶ sebagai ¶ = 3,141592, dgn mengabaikan suku2 yg dikalikan dlm kesalahan pembulatan:

            Et = 0,00000065 …

•       Kelemahan pembulatan di atas à ia mengabaikan suku-suku sisa dalam menyatakan desimal lengkap.

•       Jika dibulatkan ¶ = 3,141593 karena angka ke-8 adalah 6, maka kesalahan pembulatan berkurang menjadi:

                                    Et = 0,00000035 …

•       Untuk membulatkan bilangan sesuai dengan aturan pembulatan dari syarat di atas à Menambah biaya komputasi & akibatnya beberapa mesin memakai chopping (mengambil suku2 sisa dalam menyatakan desimal lengkap) sederhana.

•       Pendekatan ini bs diterima dengan asumsi bhw jumlah angka signifikan pd kebanyakan komputer cukup besar, hingga kesalahan pembulatan berdasarkan permotongan biasanya diabaikan.

•       Aturan pembulatan à Lihat buku Chapra, hal 85-87

Kesalahan Pemotongan

Adalah kesalahan yg dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika eksak suatu kesalahan pemotongan dimskan ke dlm solusi numerik karena kesamaan diferensial hanya melakukan aproksimasi harga turunan sebenarnya. Agar memperkuat pengertian thd perilaku kesalhan semacam ini, sekarang kita kembalipada suatu rumus matematika yg secara luas telah digunakan dalam metode numerik untuk menyatakan fungsi2 dalam suatu bentuk pendekatan yaitu Deret taylor